[이산수학] 행렬(Matrix)

 

행렬 기본 

 

행렬에 관한 연구 시작: 더 쉽고 체계적으로 선형방정식 문제 해결 위해

행렬 사용: 자료구조에서는 행렬을 2차원 배열로 구현해 자료 저장, 머신러닝에서는 데이터의 특성을 행렬로 표현

 

행렬: 수 또는 문자를 네모꼴로 배열한 것

m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬은 m x n 행렬 

i 번째 행의 j 번째 열의 수는 (i, j) 원소 

 

영행렬(zero matrix) = 모든 원소가 0인 행렬 

 

 

 

행렬의 연산

 

행렬의 합

A + B : 크기가 같은 두 행렬에서 같은 위치의 원소값을 더함

 

행렬의 차

A - B : 크기가 같은 두 행렬에서 같은 위치의 원소값을 뺌

 

행렬의 스칼라 곱

kA : A의 각 원소에 k를 곱한다

 

 

행렬의 합과 스칼라 곱의 연산법칙

1. 교환법칙: A + B = B + A
2. 결합법칙: A + (B + C) = (A + B) + C
3. 합의 항등원: A + O = A
4. 합의 역원: A + (-A) = O
5. 스칼라 곱의 결합법칙: (ab)A = a(bA)
6. 스칼라 곱의 분배법칙: (a + b)A = aA + bA / (a - b)A = aA - bA / a(A + B) = aA + aB / a(A - B) = aA - aB

 

행렬의 곱 

 

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%96%89%EB%A0%AC_%EA%B3%B1%EC%85%88

 

 

행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같아야만 AB 계산 가능

두 행렬의 곱의 크기는 A의 행의 개수 x B의 열의 개수

AB의 (i,j) 원소는 A의 i행에 B의 j열 값을 모두 곱해서 더한 값 

AB의 (i,j) 원소는 A의 i번째 행벡터와 B의 j번째 열벡터의 내적 

행렬의 곱에서는 교환법칙이 성립하지 않는다 (AB ≠ BA)

 

 

행렬곱의 연산법칙

1. 결합법칙: A(BC) = (AB)C
2. 분배법칙: A(B + C) = AB + AC / (A + B)C = AC + BC

 

가우스 소거법

계수행렬과 상수행렬을 묶은 것이 확대행렬 

계수와 상수가 주어졌을 때 해를 구하는 용도로 확대행렬 사용

기존 행렬을 변형해 새로운 확대행렬을 만들고, 기본행연산으로 행렬을 행제형 행렬로 만들고, 이후 소거행제형 행렬로 변환 > 이 과정이 가우스 소거법 

 

 

기본행연산

1. 행 교환: 두 개의 행 위치를 서로 바꾼다
2. 행 스케일링: 하나의 행에 0이 아닌 상수를 곱한다
3. 행 대체: 하나의 행에 상수를 곱한 뒤 다른 행에 더한 식으로 대체

 

행제형 행렬

• 영행이 아닌 행은 영행의 위에
• 모든 선도원소(각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나타나는 원소)가 1
• 한 행의 선도원소는 아래 행의 선도원소보다 왼쪽에 있어야 함
• 행제형 행렬 중 선도원소가 포함된 열에서 선도원소 제외 모든 원소가 0인 것이 소거행제형 행렬

 

 

행렬의 종류

 

정방행렬 square matrix

행의 수와 열의 수가 같음 

(대각원소: 정방행렬의 a11, a22, a33, ..., ann 원소들)

 

대각행렬 diagonal matrix

정방행렬 중 대각원소 외의 모든 원소가 0인 행렬 

 

스칼라 행렬 scalar matrix 

대각행렬 중 대각원소의 모든 숫자가 같은 행렬 

 

단위행렬 unix matrix

스칼라 행렬 중 대각원소의 숫자가 1인 행렬 

 

대칭행렬 symmetric matrix

정방행렬 중 aij = aji 인 행렬 

 

역대칭행렬 skew symmetric matrix (= 교대행렬)

정방행렬 중 aij = aji이고 대각원소가 모두 0인 행렬 

 

삼각행렬 triangular matrix 

정방행렬 중 주대각선 아래의 모든 원소가 0이면 상삼각행렬

주대각선 위의 모든 원소가 0이면 하삼각행렬 

 

전치행렬 transpose matrix

행렬 A의 행과 열을 서로 교환한 행렬