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『틀리지 않는 법: 수학적 사고의 힘』

 

작가 - 조던 엘렌버그 Jordan Ellenberg: 미국의 수학자. 하버드 대학교 수학 박사. 주 연구 분야는 수론과 대수 기하학, 대수 위상학 등. 소설 작법으로 석사 학위를 받아서 소설을 출간하기도 함. 제목은 The Grasshopper King.

 

 

틀리지 않는 법 | 조던 엘렌버그 - 교보문고

 

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1부. 선형성

 

1장. 덜 스웨덴스럽게

직선은 곡선의 한 종류이되 유일한 종류는 아니다.

 

곡선은 대략 연속적으로 움직이는 점의 자취,

비선형성이 중요한 이유는 모든 곡선이 다 직선은 아니기 때문이다

 

경제학의 곡선들은 비선형적이다.

 

비선형적 사고방식에서 우리가 어느 쪽으로 가야 하는가는 우리가 현재 어디에 있느냐에 따라 달라진다.

 

래퍼 곡선: "공급 중심 경제학"의 핵심 요소 중 하나. 세율이 너무 높으면 정부의 세입이 감소한다고 주장.

 

마틴 가드너의 공급 중심 이론에 대한 비판 관련 인용된 글들 🔽

 

Trump's massive tax-cut plan is discredited, dangerous "voodoo economics": Last laugh of the Laffer curve?

 

 - 트럼프의 감세 정책 비판

Temporal Anamolies of Consciousness

 - 래퍼 곡선이 복잡할 수 있는 것처럼 의식 처리 과정도 복잡할 수 있다는 걸 설명하는 데 사용된 듯

 

 

래퍼 곡선은 그저 어떤 상황에서는 세율을 낮춤으로써 세입을 늘릴 수 있다고 말할 뿐인데 사람들이 그것을 잘못 사용하고 있는 것 뿐이다. 구체적으로 세율을 낮추는 것이 도움이 되는 상황을 알려면 연구가 필요하다.

 

 

2장. 국소적으로는 직선, 대역적으로는 곡선

 

수학적 삶에는 기본 규칙이 하나 있으니, 세상이 당신에게 어려운 문제를 건네면 그보다 좀 더 쉬운 문제로 바꿔서 풀어 본 뒤 그 단순화한 버전이 세상도 반대하지 않을 만큼 원래 문제와 충분히 비슷하기를 바라는 것이다.

 

우리가 아이작 뉴턴에게 고맙게 여겨야 할 미적분의 기본 개념은 완벽한 원이 전혀 특별할 것 없다는 생각이다. 충분히 확대해서 본다면, 모든 매끄러운 곡선은 직선으로 보인다.

 

제논의 역설은 순환소수 0.9999 ······ 는 1과 같은가 하는 또 다른 수수께끼와 아주 흡사하다.

 

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✏️ 논증 예시

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 +  ······  < 이 합은 무한하다.

 

위 식에 2를 곱하면

2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ······ ) = 2 + 4 + 8 + 16 + ······

 

이 합은 위의 합에서 1만 반대로 넘긴 것과 같은데, 

그러면 2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ······ ) 은 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ······ 보다 1이 작다는 의미가 된다.

 

이를 식으로 나타내면

 2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ······ ) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ······ ) = -1

 

이때 좌변을 정리하면

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ······ = -1

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위의 논증은 2진수 체계의 맥락이라면 옳게 된다.

코시의 이론에서 어떤 급수가 극한값 𝓍에 수렴한다는 것은 항을 더 많이 더할수록 총합이 𝓍에 더 가까워진다는 것이다.

2진수 체계에서는 두 수의 차가 2의 큰 거듭제곱 값의 배수일 때 서로 가깝다고 말한다.

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ······  의 부분합은 1, 3, 7, 15, 31, ······ 이 되는데 매번의 부분합과 -1의 차는

2, 4, 8, 16, ······ 으로 2의 거듭제곱이고, 그 값은 점점 커진다. 그러므로 점점 -1과 가까워지고 있다.

 

 

비표준 해석학: 한없이 작은 수나 한없이 큰 수, 초실수와 그 위의 함수에 대해서 연구하는 해석학의 한 분야

(참고: winning ways(벌러켐프, 콘웨이, 가이))

 

수학의 맥락에서 좋은 선택이란 새로운 혼란을 빚어내지 않으면서 기존의 불필요한 혼란을 해결하는 선택이다.

 

수학의 굉장한 즐거움 중 하나는 무언가를 옳은 방식으로, 바닥까지 철저히 이해했다고 느끼는 단호한 감정이다.
그리고 일단 당신이 무언가를 옳은 방식으로 할 줄 알게 되면, 이후에는 그것을 잘못된 방식으로 설명하기가 어려워진다.

 

 

3장. 모두가 비만

 

선형 회귀의 작동 방식: 모든 점들을 잇는 선에서 가장 가까운 직선을 찾아 준다.

그리는 방법: 각 값에 대해 실제 값이 아닌 직선이 제안하는 추정치를 확인한 뒤, 두 값의 차를 제안하고, 그 수를 제곱한다. 그리고 모든 변수에 대해 제곱값을 다 더한다. 그렇게 얻어진 값은 직선이 전체적으로 점들로부터 얼마나 벗어나는가를 측정하는 지표이므로, 그 지표가 최소화되는 선을 고르면 된다!

 

선형 회귀는 어떤 데이터 집합에도 적용시킬 수 있지만, 그렇기 때문에 오히려 데이터가 선형적 현상에 가까운지 고민하지 않고 무차별적으로 적용해버리는 문제가 생길 수 있다.

 

미적분과 선형 회귀의 유사점

 - 기계적인 조작이고,

 - 계산기로 할 수 있고,

 - 부주의하게 사용하면 몹시 위험하다

 

수학의 개념들은 비록 추상적으로 들릴지언정 구체적 연산의 맥락에서만 그 의미를 지닌다.

 

 

4장. 미국인으로 따지면 몇 명이 죽은 셈일까?

 

수학에서는 꼭 지켜야 할 위생 법칙이 하나 있다. 어떤 수학 기법을 현장에 적용하여 시험할 때는 같은 계산을 다른 방식으로 여러 차례 반복하라는 것이다. 만일 그때마다 다른 답이 나온다면, 기법에 뭔가 문제가 있는 것이다.

 

특정 지역에서의 사망자(혹은 생존자) 수를 다른 곳의 인구 비율에 무작정 맞춰서 계산하는 것이 정확한 비교인가?

 

표본이 작으면 변이가 더 크다. 작은 학교에서의 몇 명의 천재는 평균을 더 크게 상승시킬 수 있다.

평균의 법칙(앞면이 5번 나왔으니 남은 5번은 뒷면이 나오겠지)은 성립하지 않으며, 동전을 더 많이 던질수록 지난 시도들이 덜 중요해질 뿐이다.

 

큰 수의 법칙은 이미 벌어진 일에 대해서 균형을 맞추는 것이 아니라, 비율로 따져서 과거의 횟수가 무시해도 좋을 만큼 작아질 때까지 새로운 데이터를 더함으로써 이미 벌어진 일을 희석한다.

 

만일 테러리스트의 폭탄에 26명이 죽은 것이 어떤 규모인지 가늠하고 싶다면, 지구를 반 바퀴 돌아 다른 도시로 갈 것이 아니라 그냥 당신이 사는 도시에서 26명이 테러리스트의 폭탄에 죽은 상황을 상상하라. 이 계산은 수학적으로나 도덕적으로나 나무랄 데 없으며, 계산기를 쓸 필요도 없다.

 

 

5장. 접시보다 큰 파이

 

수가 음수가 될 수 있는 상황에서는 퍼센트를 논하지 말라.

 

A에서 적자가 500, B에서 수익이 750, C에서 수익이 750이 났을 때,

B가 전체 이익의 75%를 달성했다고 틀리지 않고, C가 75%를 달성했다고 해도 틀리지 않다.

 

양수만 논해도 오해는 발생할 수 있다.

전체 일자리 감소량에서 여성 일자리 감소의 퍼센트를 구할 때, 전체 일자리 감소는 남성들의 일자리가 늘어나며 상쇄될 수 있다.

 

사람들은 정량적 정책 분석을 흔히 계산기를 두드리는 일로 여기지만, 사실 계산기는 우리가 무슨 계산을 하고 싶은지를 따진 뒤에야 비로소 동원되는 것이다.

 

 

+) 동의하지 않는 부분

 

"바비는 구슬 300개를 갖고 있었습니다. 30%를 제니에게 주고 그 절반만큼을 지미에게 ··· " 이런 문제는 설득력 없는 가면을 쓴 단순한 산수 문제일 뿐이고, 차라리 계산기에 <300 - (0.30 x 300) - ··· > 를 입력하고 답을 받아 적으시오. 라고 문제를 내는 게 낫다고 작가는 이야기하는데,

그런 문제를 내는 데에는 학습자가 그 이론을 얼마나 이해하였는지, 다른 상황에 적용시킬 수 있도록 논리를 이해하였는지를 알기 위한 목적이 있는 것이 아닌가?

 

 

한 수를 다른 수로 나누는 것은 단순한 연산일 뿐이다. 무엇을 무엇으로 나눠야 할지를 알아내는 것이야말로 수학이다.

 

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2부. 추론