선형대수학의 본질 (3blue1brown)

선형대수학의 본질 | 3b1b 한국어

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선형대수가 빅데이터시대에 그렇게 중요하다면서요?
하지만 난 고교에서 행렬과 벡터를 배우지 않은 비운의 세대라 유튜브로 이래저래 보고 있는데 아직은 어렵기만 😇
여러 유튜브 영상 중 3blue1brown의 한국어 버전이 괜찮대서 도전해보았다
그래도 순간순간 이해가 된다! 다음 날에 다음 영상 보면 다시 까먹지만 재미있었다
강의 정리 내용은 대략 아래

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1. 벡터란 무엇인가

“숫자를 좌표로써 도입한 것은 기존의 틀을 깬 혁명이었다.” (헤르만 바일)

물리학 관점: 공간 상의 한 화살표. 한 벡터는 길이와 그것이 가리키는 방향으로 정의된다. 두 요소가 같다면 옮겨지더라도 같은 벡터로 취급한다.

컴퓨터 과학자들의 관점: 숫자 자료의 배열 (배열/리스트의 자료구조)

수학자 관점: 무엇이든 벡터가 될 수 있다?! 벡터의 덧셈, 상수배 등 특정 조건을 만족한다면 모두 벡터

“벡터”라는 단어를 들으면 먼저 원점에서 뻗어나가는 화살표를 생각해보자. (공간 위의 화살표)
이제 그걸 좌표로 나타내면 숫자의 쌍은 기본적으로 벡터의 머리가 원점으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다.  
 
선형대수학 모든 주제의 중심에는 벡터의 덧셈과 상수배가 있다.
 

벡터의 덧셈

 
스케일: 벡터의 방향은 유지한 채 길이를 늘리고, 줄이고, 뒤집는다.
스칼라: 벡터를 스케일하는 숫자
 
선형대수학은 데이터 분석에 많은 숫자의 배열을 시각적으로 개념화하는 방법 제공
데이터 속 패턴 설명, 연산들에 대한 보편적인 관점 제공
프로그래머에게는 공간의 조작을 숫자를 사용하여 묘사하는 언어 제공

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2. 선형결합, 생성, 기저 백터

 
벡터를 "스케일된 두 벡터의 합"으로 보자.
x 단위벡터(i hat)를 x좌표만큼, y 단위벡터(y hat)를 y만큼 스케일한 결과
î, ĵ 는 xy  좌표계의 기저벡터이다. 그리고 벡터를 수적으로 표현할 때 암묵적으로 선택한 기저 벡터에 의존하고 있다.
+) 벡터 공간의 기저는 공간 전체를 생성하는 선형 독립인 벡터의 집합이다
 
Linear Combination 선형결합
 : 두 벡터를 스케일하고 더하여 새 벡터를 얻는 모든 연산
 

Linear Combination

 
생성: 두 벡터의 선형결합의 집합
 
∴ 대부분의 2차원 벡터 쌍의 생성은 2차원 공간의 벡터 전체가 된다.
    (모든 벡터를 점으로 생각하면 2차원 평면 하나를 완성하게 됨!)
 - 두 벡터가 일렬로 있다면 직선에 한정, 둘 다 영벡터라면 원점에 갇힘
 

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3. 선형변환과 행렬

행렬은 선형변환을 설명하는 정보를 묶어 표현하는 방법이다

 
 
선형변환 Linear Transformation (변환: 입력이 들어가면 출력을 내놓은 수학적 구조, 함수의 다른 표현)
 - 출력 벡터를 입력 벡터가 움직인 결과로 생각하자
 - 직선이 유지된 (휘지 않은) 상태로, 원점도 유지된 상태에서의 변환이 선형 변환
 

2 x 2 행렬

 
2 x 2 행렬에서
1열의 두 숫자는 첫 번째 기저벡터가 도달하는 좌표
(1행 1열은 첫 번째 기저벡터의 x좌표, 1행 2열은 첫 번째 기저벡터의 y좌표)
 
V-> = -1î + 2ĵ
î를 -1만큼 스칼라 이동하고 ĵ를 2만큼 스칼라 이동한 것을 선형결합한 결과
 

벡터(x, y)를 시계 반대 방향으로 90도 회전하는 방법

단위행렬의 변화에 벡터를 곱해서 구한다  
 
벡터 기준으로, 단위행렬에 변화가 있을 때 그 벡터는 따라서 어떻게 변화하는가
 

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4. 선형변환의 합성과 행렬의 곱셈

 
두 행렬의 곱셈이 기하적으로 나타내는 것은 한 변환과 다른 변환의 순차적 적용

 
합성 행렬은 여러 선형변환을 적용한 전체 효과, 행렬곱은 그 합성 행렬을 구하는 것
 

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6. 행렬식

 
선형 변환 - 공간의 넓이에도 변환을 일으킨다
 
행렬식: 선형변환으로 인해 어떤 스케일 인자만큼 넓이에 변화가 있을 때의 인자를 그 변환의 행렬식이라고 한다.
어떤 2차원 변환의 행렬식이 0이라면 변환은 공간 전체를 직선 또는 한 점으로 찌그러뜨린다. (영역의 넓이가 0이 됨 - 차원 자체를 낮춘다!)
 
행렬식이 음수값의 경우 - 넓이를 음의 양만큼 스케일? → 방향의 문제
 

행렬식 계산

 
b, c가 0이라고 가정하면 a, d는 평행사변형 조정, b와 c의 값이 0이 아니게 된다면 그 평행사변형을 어떻게 찌그러뜨리는지 조정
 

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7. 역행렬, 열공간, 영공간

 

 
행렬식이 0이어서 공간이 하위 차원으로 낮아지면 다시 돌이킬 수 없기 때문에 역행렬이 없다 
역이 없을 때에도 해는 존재할 수 있다. (공간이 직선이 됐을 때 벡터 v가 직선 위에 있다면 해 존재)
 
열공간: 행렬에 대해 가능한 모든 출력의 집합 ( = 행렬의 열들의 생성)

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9. 내적과 쌍대성

 
 
W를 V를 지나는 직선에 사영해서 사영된 W의 길이와 V의 길이를 곱하면 내적
W의 사영이 반대 방향을 가리키면 내적이 음수가 된다
 
변환했을 때 점들 사이의 간격이 균등하지 않으면 그 변환은 선형이 아님